Geri Dönüş Yolu: eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

ÖZDEŞLİK, ÖZDEŞLİK ÇEŞİTLERİ, ÖZDEŞLİĞİN ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

Tanım : Sabit olmayan, birden fazla polinom un çarpımı biçimin  de yazılamayan polinomlara  indirgenemeyen polinomlar denir. Baş katsayısı bir olan indirgenemeyen polinomlar Asal polinomlar  denir.

*  P(x) = x² + 4 ,  Q(x) = 3x² + 1,  R(x) = 2x – 3 ,  T(x) = - x + 7

Polinomları indirgenemeyen polinomlar dır.

P(x) = x² + 4  baş katsayısı 1 olduğundan  asal polinom dur.

Tanım : İçindeki değişkenlerin alabileceği her değer için doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

a) x³ (x² – 2x) = x⁵ – 2x⁴

b) a² (x + y)² = a² x² + a² y²   özdeşlik

c) a² (x +y)² = a² x² + a² y²     özdeşlik değildir.

ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER

I) Tam Kare Özdeşliği:

a) İki Terim Toplamının Karesi :  (a + b)² = a² + 2ab + b²

b) İki Terim farkının Karesi       :   (a – b)² = a² – 2ab + b²

İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.

c) Üç Terim Toplamının Karesi:

(a +b + c)² = a² + b² + c² + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir.

II) İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :

a) İki Terim Toplamının Küpü :  (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

b) İki Terim Farkının Küpü      :  (a – b)³ = a³  – 3a²b + 3ab² – b³

Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikincinin  küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom  Açılımıda denir

Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak  4.,5.,6.,...Dereceden iki terimlilerin özdeşliklerini de yazabiliriz.

III)   İki Kare Farkı Özdeşliği:      (a + b) (a – b) = a² – b²

İki terim toplamı ile farkının çarpımı; birincinin karesi ile ikincinin karesinin farkına eşittir.

IV) xⁿ + yⁿ  veya xⁿ - yⁿ  biçimindeki polinomların Özdeşliği :

i)

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)

a³ –  b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

ii)

a⁴ + b⁴ = (a + b) (a³ – a²b + ab² – b³)

a⁴ –  b⁴ = (a² + b²) (a + b) (a – b)

iii)

a⁵ + b⁵  = (a + b) (a⁴ – a³b + a² b² – ab³ + b⁴)

a5 – b5  = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

iv)

a⁶ + b⁶  = (a + b) (a⁵ – a⁴b + a³ b² – a²b³ + ab⁴ – b⁵)

a⁶ –  b⁶  = (a – b) (a² + ab + b²) (a+ b) (a² + ab + b²)

v)

a⁷ + b⁷  = (a + b) (a⁶ – a⁵b + a⁴b² – a³b³ + a²b⁴ – ab⁵ + b⁶)

a⁷ –  b⁷  = (a – b) (a⁶ + a⁵b + a⁴b² + a³b³ + a²b⁴ + ab⁵ + b⁶)

Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

1)  x² + y²  = (x + y)² – 2xy

2)  x² + y²  = (x – y)² + 2xy

3) (x – y)² = (x + y)² – 4xy

4) (x + y)² = (x – y)² + 4xy

5) x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy (x – y)

6) x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy (x + y)

7) x² + y² + z² = (x + y + z)² – 2 (xy + xz + yz)

1)  İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların çarpımı kaçtır?

x² + y²  = (x + y)² – 2xy              2ab = 289 – 145

145 =  (17)² – 2ab                     2ab = 144         ab = 72     C= 72

2)   a – b = 6            (a + b)² = (a – b)² + 4ab       (a + b)² = 44

a . b = 2                          = ( 6 )²  + 4.2             (a + b) =

a + b = ?                         =  36 + 8                                = 44

3)   a – 2b = 3  ise;  a² + 4b² = ?    a² + 4b² = (a – 2b)² +2. a²b

a . b = 2                                                 = ( 3 )2 + 2. 2 .2  = 17

4)   a + b = 12  ise;  a . b = ?    (a + b)² = (a – b)² + 4ab    4 ab = 108

a – b = 6                               ( 12 )² = ( 6 )²  + 4ab           ab = 27

5)

m + n =8                        x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y)

m . n = 1                         m³ + n³ = (m + n)³ – 3mn (m + n)

m³ + n³ = ?                                  = ( 8 )³ – 3 . 1 . 8 = 488

6)

a³ – b³ = 50                    x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy(x – y)

a – b = 2 ise;                   a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

a . b = ?                          50 = 8 + 6ab   6ab = 42 ab = 7

7)

x³ – y³ = (x – y)³ + 3xy(x – y)

= ( 3 )³ + 3.1.( 3 ) = 36

10) ise;      x³ + y³ = (x + y)³ – 3xy(x + y)

198

8)

a + b + c = ?               a² + b² + c² = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

ab + ac + bc = 12                          = ( 7 )² – 2 ( 12 )

a² + b² + c² = ?                              = 49 – 24 = 25

ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI

1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :

Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır. Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır.

1)  Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız. bilgiyelpazesi.net

a)  3a + 3b = 3(a + b)

b)  5m – 10mn = 5m (1 – 2)

c)  12x + 9y =3(4x + 3y)

d)  3a²b – 2ab² = ab (3a – 2b)

e)  3ax + 3ay – 3az

f)  (a – b) x + 3 (a – b)

g)  (m – n) – (a + b)(m – n)

h)   – a – b – x² (a + b)

ı)   x²(p – 3) + ma² (3 – p)

i)   1 – 2x + m (2x – 1)

2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :

Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer, üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı  ortak çarpanlarına ayrılır.

2)

a)  mx + ny + my + nx

b)  xy – xb – yb + b²

c)  x⁴ – 4 + 2x³ – 2x

d)  2x² –3x – 6xy + 9y

e)  x³ – x + 1 – x²

f)   x4 – x + x³ – 1

g)  ab(c² – d²) – cd (a² – b²)

h)  ac² + 3c – bc – 2ac – 6 + 2b

ı)  mn(zi + y²) + zy (m² + n²)

i)  a²b² + 1 – (a² + b²)

3) Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı  nın iki katı ortadaki terimi  veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir

a² + 2ab + b² = (a + b)²,         a² – 2ab + b² = (a – b)²

3)

a)  x² + 4xb + 4b²

b)  4a² + 12ab + 9b²

c) 4a²b² – 4abc + c²

4)

a) a²b + 8ab +16b³

b) 2m³ – 28m² +98m

c) 4x³y – 12x²y² + 9xy³

4) İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :

Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.

a² – b² = (a + b) (a – b)

5)  a) 25 – 9a²b²

b) x4 – 1

c) (m – n)² – (m + n)²

6)  a) 18x² – 2y²

b) 2a²b³ – 32b

c) 12x³y – 75xy⁵

7)

a) 9a² – 6a +1 – b²

b) x² – 12x + 36 – 4y²

c)16m² – n² – 6n – 9

d)1 – x² – 2xy – y²

e) m² – n² – 3m + 3n

f) a² – 25b² – a + 5b

g) a² – 4m² – 12mn – 9n²

h)  9a² –16m⁴ – 12axy + 4x²y²

5) İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri  Çarpanlara Ayırma:

a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²) ,  a³ –  b³ = (a – b) (a² + ab + b²)

8)   a) a³ + 8

b) 8 – m³

c) x³ + 1

d) 27a³ – 64

e) x³a³ + b³

9)   a) 81m³ – 3n³

b) 24x³y – 3y

c) 2x + 54x⁴

10)  a) (x +y)³ – 8

b) a³ + 8(a - b)³

c) (m – n)3 + 1

6) xn   yn   biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:

11)

a)  x⁴ + 1  =  (x + 1) (x³ – x² + x – 1)

b)  x⁴ – 1  =  (x² + 1) (x + 1) (x – 1)

c)  x⁵ + 25 =  (x + 2) (x⁴ – 2x³ + 4x² – 8x + 16)

d)  x⁵ – 1  =  (x – 1) (x⁴ + x³ + x² + x + 1)

7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:

Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir

12)  4x⁴ + 7x² + 4  ifadesini Çarpanlarına ayırınız.

4x⁴  +  7x²  + 4  =  4x⁴ + 7x² + 4 + x² – x²               = 4x⁴ + 8x² + 4– x²

= (2x² + 2)2 – x2

2x²                                                                = (2x² + 2 – x) (2x² + 2 + x)

2.2x².2 = 8x²                                                               = (2x² – x + 2) (2x² + x + 2)

13)  x² – 6x + 5   ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.

x² – 6x + 5 + 32 – 32 = (x² – 6x + 32) – 32 + 5    = (x – 3)2 – 4

= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)

14)

a)  m² + 2m – 24

b)  a⁴ + a² + 1

c) 16a⁴ + 4a²b² + b⁴

d)  a² – 6ab + 8b² +2b – 1

(Not: b² yi bir ekleyip - çıkar )

8)  x2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

15)

a) x² + 5x + 6

b) x² – 5x + 6

c) x² + 7x + 6

d) x² – 7x + 6

e) x² + 5x – 6

f) x² – 5x – 6   g) x² + x – 6

h) x2 – x – 6

ı) x² – 7x – 18

i) x⁴ – x² – 30

k) m² – 6m – 27

l) x² – 3xy – 10y²

m)  –x² – 2x + 3

n) x² – 13x + 30

o) x² + 2y²– 3xy

9) ax2 + bx + c  şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :

ax² + bx + c = (mx + p) (nx + q) bilgiyelpazesi.net

mx            p

nx            q     (mx.q + nx.q = bx  oluyorsa)

16)

6x² + 7x – 3   =  (3x – 1) (2x + 3)  olur.

3x          – 1       (3x . 3 – 1. 2x  =  9x – 2x  = 7x  olduğundan)

2x         + 3

17)

a) 3x² – 2x – 8            b) 3x² – 7x + 2       c) 2m² + 5mn – 12n²

d) 8a² – 2ab – b           e) 4x² + 21x + 5     f) 36a² – 33ab – 20b²

g) 4m² + 11m – 3        h) 6a² + 5a – 6        ı) 12a² – 8ab – 15b²

i)  2m² – 10m + 12        k) 3x² + 3x – 18      l)  3 n² + 30n + 48

18) 

a² + 2ab + b² = 3     ve   c² + 2ac + 2bc = 6   ise;  a + b + c = ?

c² + 2ac + 2bc = 6   T.T.T

a² + b² + c² + 2ab  + 2ac + 2bc = 9 (a + b + c)² = 9  Ç = {-3, 3}

19)

x = 4 , y = 2 ise,  x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?

a) 16    b) 32    c) 64    d) 128   e) 256

x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32

20)

a + b yerine ab yazılırsa

(a . b)² – 2ab – 24 = 0 olur.

a .b  = y   diyelim.

y2 – 2y – 24 = 0     y – 6) (y + 4) = 0      y = - 4   ve   y = 6

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

EKLEMEK İSTEDİKLERİNİZ VARSA AŞAĞIDAKİ "Yorum Yaz" kısmına ekleyebilirsiniz.

Yorumlar (3) . ->Yazan : alpay ->Yorumu: cok sagolun cok güzel bir site burasi. ->Yazan : eses ->Yorumu: prformans ödevim için çok ise tesekkür ederim =). >Yazan: esra >Yorum: çok yardiminiz ddokundu saolun 100 aldim size yemin edebilirim:):) . >>>YORUM YAZ<<< Not: Yorum Yaz Bölümünden Yazılar Da Gönderebilirsiniz. Yazıyı belgenizden kopyalayıp aşağıdaki Yorumunuz Kutucuğu'na yapıştırmanız yeterli...  Adınız:  Yorumunuz : Yorumunuzda Silmek istediğiniz kelime veya cümle varsa kelimeyi fare ile seçin ve delete tuşuna basın...   Eklediğiniz yorumlar/yazılar onaylandıktan sonra siteye eklenecektir.  E Mail (Zorunlu Değil):

Bilgiyelpazesi.Net Ana Sayfası Bu Yazıyı İndir Sık Kullanılanlara Ekle

<<<TELİF HAKKI KONUSU (ALTTAKİ KAYAN YAZI) LÜTFEN OKUYUNUZ !.>>>>

...Değerli Ziyaretçilerimiz... Sitemizde sizler için hazırladığımız binlerce yazı bulunmaktadır... Hassas davranmamıza karşın gözümüzden kaçan bazı yazılar telif hakkıyla korunuyor olabilir... Telif Hakkıyla korunan yazılarla karşılaşırsanız (KAYNAK GÖSTERMENİZ ŞARTIYLA) yazıların altındaki YORUM YAZ kısmına bildirmenizi rica ederiz... Bu tür yazılar derhal siteden kaldırılacaktır... Saygılarımızla ... Bilgiyelpazesi Ekibi...

SİTEDEKİ KİŞİ SAYISI

Toplam:

SİTEMİZE KİM NEREDEN GELMİŞ HANGİ SAYFADA GEZİNİYOR

Bilgiyelpazesi Net

Sayfanızı Da Tanıtın

Eğitim ve Ögretim Ödev

Zirve100 Sayac

V9 Navigasyon

BUGÜN EN ÇOK ZİYARET EDİLEN İLK 10 SAYFA