Geri Dönüş Yolu: eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

KÖKLÜ SAYILAR, KÖKLÜ İFADELER, KÖKLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ (4) İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

Üslü ifadelerde negatif veya pozitif reel sayıların tam sayı olan kuvvetlerini tanımlamıştık. Bir üslü ifadenin değerini bulmayı biliyoruz.

Örneğin;(-2)²=(-2).(-2)=4,           (2)=2.2=4 tür.

Burada karesi 4 olan iki reel sayı vardır. Bunlardan negatif olanı (-2), pozitif olanı da (+2) dir. Bunun gibi karesi 9 olan sayılar (-3) ve (+3) tür. Fakat karesi -4 ve -3 olan reel sayı yoktur. Genelleyecek olursak; "xÎR⁺ için karesi x olan biri negatif diğeri pozitif iki reel sayı vardır. Değeri ve üssü verilen üslü ifadelerin tabanını bulma işlemine kök alma işlemi denir.

TANIM:karesi aÎR+ e eşit olan iki sayıdan negatif olanına a nın negatif karekökü, pozitif olanına a nın pozitif karekökü denir. Negatif karekök “-Öa”; pozitif karekök “Öa” ile gösterilir. Yani(Öa)²=(-Öa)²=a dır.

Örneğin; x²=16 nın pozitif karekökü x=Ö16=4, negatif karekökü x=-Ö16=-4

(Öa)²=Öa² ifadesi bazen “a” ya eşit değildir. Örneğin;

Öa² ifadesi daima pozitiftir. Öa²³0 olur.

Ö4=2 nin doğru olduğuna, Ö4=-2 nin yanlış olduğuna dikkat ediniz.

Teorem:bir reel sayının karesinin karekökü o reel sayının mutlak değerine eşittir.

"xÎR için Öx²=½x½ tir.

İspat;

1.      x³0 için ½x½ve Öx² =x tir. o halde, Öx² =½x½olur.

2.      x<0 için ½x½=-x ve Öx² =-x tir. (-x>0) o halde, Öx² =½x½olur.

Örnek: x<2 ise  Öx² -4x+4 ifadesi neye eşittir?

Çözüm: Öx² -4x+4 = Ö(x-2)² = ½x-2½(Öx² =½x½)

X<2 ise x-2<0 olur. Bu durumda, ½x-2½=-(x-2)=-x+2 bulunur.

Örnek: x<0<y ise Öx²+Öy²-Ö(x-y)² işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Öx² = ½x½, Öy² =½y½ ve Ö(x-y)² =½x-y½ dir.

X<0 Þ½x½=-x

Y<0 Þ½y½=y

X<y Þ x-y<0 Þ ½x-y½=-(x-y)=-x+y dir.

Öyleyse, Öx²+Öy²-Ö(x-y)² =½x½+½y½-½x-y½=-x+y+x-y=0 bulunur.

Örnek: 3<x<4 ise Öx²-8x+16 +Öx²-6x+9 -½3-x½işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: Öx²-8x+16 =Ö(x-4)² =½x-4½, Öx²-6x+9 =Ö(x-3)² =½x-3½ tür.

X<4 Þ x-4<0 olup ½x-4½=-x+4 ve

x>3 Þ x-3>0 olup ½x-3½=x-3 olur.

x>3 Þ ½3-x½=-3+x tir.

Öx²-8x+16 +Öx²-6x+9 -½3-x½=½x-4½+½x-3½-½3-x½=-x+4+x-3-(-3+x)

=1+3-x=4-x bulunur.

KAREKÖKLÜ İFADELERDE TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ

Kareköklü ifadeleri toplamak veya çıkarmak için kök içindeki terimler benzer olmalıdır. Benzer olan terimlerin kat sayıların toplamı veya farkı, o terimlere kat sayı olarak yazılır.

aÖb -cÖb +dÖb =Öb(a-c+d) olur.

Örnekler:

1.      3Ö3-4Ö3+7Ö3=(3-4+7).Ö3

2.      Ö75 -2Ö48 -3Ö27 =2Ö25.3 -2Ö16.3 -3Ö9.3 =2.5Ö3 -2.4Ö3 -3.3Ö3

=10Ö3 -8Ö3 -9Ö3 =(10-8-9)Ö3 =-7Ö3

3.      Ö5/3+2Ö5-3Ö5/2 =(1/3+2-3/2)Ö5 =(2+12-9/6)Ö5 =5/6Ö5

EŞLENİK İFADELERİN ÇARPIMI

a,bÎR⁺ için

1. Öa nın eşleniği Öa dır.

2. Öa +Öb nin eşleniği Öa-Öb dir.

Çarpımları rasyonel olan iki irrasyonel ifadeden her birine diğerinin eşleniği denir. Eşlenik iki ifadenin çarpımı, birinci terimin karesinden ikinci terimin karesinin farkına eşittir. Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği kullanılırsa,

(Öa+Öb)(Öa-Öb)=Öa(Öa-Öb)+Öb(Öa-Öb)=a-Öab +Öab –b=a-b olur.

Örnek:

1.      (Ö5 -2Ö3)(Ö5 +2Ö3)= Ö5(Ö5 +2Ö3)-2Ö3(Ö5 +2Ö3)=5+2Ö15 -2Ö15 -4.3=-7

2.      (4+2Ö7)(4-2Ö7)=4²-(2Ö7)²=16-28=-12

3.      (x+Ö5)(x-Ö5)=(x²)-( Ö5)²=x²-5 olur.

PAYDAYI RASYONEL YAPMA

Paydası rasyonel olmayan bir köklü ifadenin paydasını rasyonel yapmak için paydanın eşleniği ile pay ve paydayı çarparız.

Örnek:

1.      3/Ö3=3. Ö3/Ö3. Ö3=3Ö3/Ö32=Ö3

2.      1/Ö5-Ö3=1.( Ö5+Ö3)/ (Ö5-Ö3)( Ö5+Ö3)= Ö5+Ö3/(Ö5)²-(Ö3)²=Ö5+Ö3/5-3=Ö5+Ö3/2

3.      7/2Ö2-1=7(2Ö2+1)/(2Ö2-1)(2Ö2+1)=7(2Ö2+1/(2Ö2)²-(1)²=7(2Ö2+1)/8-1=7(2Ö2+1)/7

=2Ö2+1

KAREKÖKLÜ BİR İFADENİN SADELEŞTİRİLMESİ

Örnek: (Öa³)⁶.( Öa^-3)⁴ ifadesini sadeleştiriniz.

Çözüm: a^-3=1/a³ yazılabileceğini biliyoruz.(x-n=1/xn kuralına göre)

(Öa³)⁶.( Ö1/Öa³)⁴=Öa¹⁸. Ö1/Öa¹²=Öa¹⁸.1/a¹²=Öa⁶=Ö(a³)² =½a³½ bulunur.

Örnek: Öab-3c-2 . Öab5c3 ifadesini sadeleştiriniz.

Çözüm: Öab-3c-2 . Öab5c3 =Öa2b5c3/Öb3c2 =Öa2b2c =½ab½.Öc bulunur.

KAREKÖKLÜ İKİ TERİMİN ÇARPIMI

a ³0 ve b>0 olmak üzere a,b Î R için Öa.Öb=Öa.b dir.

Kareköklü iki terimin çarpımı, bu terimlerin çarpımının kareköküne eşittir.

Örnek:

1.      Ö3. Ö5 =Ö3.5 =Ö15

2.      2Ö3. 3Ö2 =(2.3). Ö3.2 =6Ö6

3.      Ö3. Ö6. Ö2 =Ö3.6.2 =Ö36 =6

KAREKÖKLÜ İKİ TERİMİN BÖLÜMÜ

a ³0 ve b>0 olmak üzere a,b Î R için Öa/Öb =ÖA/B dir.

Kareköklü iki terimin bölümü, bu terimlerin bölümünün kareköküne eşittir.

Örnek:

1.      Ö60 /Ö15 =Ö60/15 =Ö4 =2

2.      Öx⁷/Öx⁵=Öx⁷/x⁵ =Öx² =½x½

3.      Ö21/Ö7 =Ö21/7=Ö3

KAREKÖKLÜ BİR TERİMİN n. KUVVETİ

Kareköklü bir terimin “n.” Kuvveti bulunurken, verilen ifadenin karekökü alınarak terimin “n.” Kuvveti bulunur ve ele edilen terimin karekökü alınır.

xÎR+ ve n ÎZ+ olmak üzere, (Öx)ⁿ=Öxⁿ ir.

İspat: xÎR⁺, nÎZ⁺ için Öx in “n.” Kuvveti,

(Öx)ⁿ=Öx. Öx. Öx…Öx=Öx.x.x…x =Öxⁿ olur.

Örnek:

1.      (Ö5)⁴=Ö5⁴=Ö(5²)²=5²=25

2.      (Ö3)³.( Ö6)⁵=Ö3³ . Ö6⁵ =Ö3³(2.3)⁵ . Ö3³.2⁵.3⁵ =Ö3⁸.2⁵

=Ö(3⁴)².(2²)².2=3⁴.2². Ö2 =324Ö2

3.      (Ö1/2)^-4=Ö1/2^-4 =Ö2⁴ =Ö(2²)² =2² =4

REEL SAYILARIN RASYONEL KUVVETİ

Tanım: a³0 reel sayısı verilsin. n ÎZ⁺ için xn=a olacak şekilde bir xÎR+ sayısı varır.

Bu sayıyı a nın “n.” Kuvvetten kökü denir ve xn =a Û x=ⁿÖa biçimine gösterilir.

x2=m eşitliğini gerçekleyen x=Öm değerine, karekök m,

x3=m eşitliğini gerçekleyen x=³Öm değerine, küpkök m,

x4=m eşitliğini gerçekleyen x=⁴Öm değerine, 4. dereceden kök m denir.

Şimdide ⁿÖa^m biçimindeki bir ifadeyi üslü şekle yazalım. m=k.n alalım:

ⁿÖa^m =ⁿÖa^n.k =ⁿÖ(a^k)ⁿ =a^k dır.

m=k.n Þk=m/n dir. ak da k yerine m/n yazalım. a^k =a^m/n bulunur. O halde, ⁿÖa^m=a^m/n dir.

örnek:

1.      Öx =x^1/2

2.      ³Öx² =x^2/3

3.      ⁴Ö(x+y)³ =(x+y)^3/4

köklü bir terimi üslü biçimde yazarken, terimin üssü pay, kökün derecesi payda alınarak elde edilen rasyonel sayı verilen terime üs olarak yazılır.

xⁿ=a denkleminde n tek doğal sayı ise çözüm kümesi: x=ⁿÖa dir.

xⁿ=a denkleminde n çift doğal sayı ise çözüm kümesi: x=±ⁿÖa dır.

öyleyse, x=ⁿÖa ifaesi,

1.      n tek doğal sayı ve x reel sayıdır.

2.      n çift doğal sayı ve a³0 ise x reel sayıdır.

3.      n çift doğal sayı ve a<0 ise x reel sayı değildir.

⁷Ö-128, ³Ö-27, ⁵Ö-1 sayıları reel sayıdır.

Ö25, ⁴Ö16, ⁴Ö8 sayıları reel sayılardır.

Ö-1, Ö-4, Ö-9 sayıları reel sayı değildir.

KÖKLÜ BİR TERİMİN KUVVETİ

nÖa gibi köklü bir terimin “m.” Kuvveti, (ⁿÖa)^m = ⁿÖa.ⁿÖa.ⁿÖa…ⁿÖa = ⁿÖa.a.a…a  bilgiyelpazesi.net                              =ⁿÖa^m olur.

Öyleyse, (ⁿÖa)^m = ⁿÖa^m dir.

Örnek:

1.      (³Öx.y)² =³Ö(x.y)² =³Öx².y²

2.      (³Öa)⁴=³Öa⁴ =³Öa³.a=a³Öa (ⁿÖaⁿ.b=aⁿÖb dir. )

3.      (⁵Ö4)³ =⁵Ö4³=⁵Ö(2²)³ =⁵Ö2⁶=⁵Ö2⁵.2 =2⁵Ö2

KÖKLÜ BİR TERİMİN KÖKÜ

Bir terimin “m.” Kuvvetten kökünün tekrar “n.” Kuvvetten kökü, bu terimin (m.n) inci kuvvetten köküne eşittir. nÖx in tekrar “m.” Kuvvetten kökü: ^mÖⁿÖx =^m.nÖx dir. Bu eşitliğin doğruluğunu gösterelim:

^mÖⁿÖx=(ⁿÖx)^1/m =ⁿÖx^1/m =(x^1/m)^1/n =x^1/m.n =^m.nÖx olur.

Öyleyse, ^mÖⁿÖx =^m.nÖx tir.

Örnekler:

1.      ³Ö⁴ÖÖa³ =³Ö^4.2Öa³ =³Ö⁸Öa³ =²⁴Öa³ =⁸Öa

2.      ⁴Ö5Ö5³Ö5² =^4.2.3Ö(5²)³.5³.5² =²⁴Ö5⁶.5³.5² =²⁴Ö5¹¹ bulunur.

KÖKLÜ İFADELERİN ÇARPILMASI

Kök kuvvetleri aynı olan ifadelerin çarpımı, bu ifadelerin çarpımının aynı kuvvetten köküne eşittir.

Teorem: a,b ÎR⁺ ve n ÎN⁺ ise ⁿÖa.ⁿÖb =ⁿÖa.b dir.

İspat: ⁿÖa.ⁿÖb =ⁿÖa.b dir. eşleniğinin her iki yanının n. Kuvvetini alalım.

(ⁿÖa.ⁿÖb)ⁿ =(ⁿÖa.b)ⁿ Þ(ⁿÖa)ⁿ.(ⁿÖb)ⁿ =a.b ve (ⁿÖa.b)ⁿ =ⁿÖaⁿ.bⁿ =a.b dir.

Örnek: ³Ö2a. ³Ö4a² işleminin sonucunu bulunuz.

Çözüm: ³Ö2a.³Ö4a² =³Ö2a.4a² =³Ö8a³ =³Ö2³a³ =³Ö(2a)³=2a dır.

Teorem: x,y ÎR⁺, m,n,k ÎZ⁺ olmak üzere  1. ⁿÖx^m =^n.kÖx^m.k    2. ⁿÖx^m=^n/kÖx^m/k

3.^mÖx.ⁿÖy=^m.nÖxⁿ.^m.nÖy^m=^m.nÖxⁿ.y^m   4. ^mÖx/ⁿÖy=^m.nÖxⁿ/^m.nÖy^m=^m.nÖxⁿ/y^m dir.

kök kuvvetleri farklı olan köklü ifadeleri çarpmak için önce kök kuvvetleri eşitlenir sonra çarpma işlemi yapılır.

KÖKLÜ İFADELERİN BÖLÜNMESİ

Kök kuvvetleri aynı olan köklü iki ifadenin bölümü, bu ifadenin bölümlerinin aynı kuvvetten köküne eşittir.

Teorem: a,b ÎR⁺ ve nÎN⁺ ise ⁿÖa/ⁿÖb =ⁿÖa/b ir.

İspat: her iki tarafın  n. Kuvvetten kökünü alalım:

(ⁿÖa/ⁿÖb)ⁿ =(ⁿÖa/b)ⁿ Þ (ⁿÖa)ⁿ/(ⁿÖa)ⁿ  =a/b Þa/b=a/b dir.

örnek:

1.      Ö18a⁵/Ö2a³ =Ö18a⁵/2a³ =Ö9a² =3a dır.

2.      ³Ö54a⁴b⁵/³Ö2ab² =³Ö54a⁴b⁵/2ab² =³Ö27a³b³ =3ab dir.

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

EKLEMEK İSTEDİKLERİNİZ VARSA AŞAĞIDAKİ "Yorum Yaz" kısmına ekleyebilirsiniz.

Yorumlar (HenüzYorumYapılmamış) . >Yazan: ... >Yorum: ... . >>>YORUM YAZ<<< Not: Yorum Yaz Bölümünden Yazılar Da Gönderebilirsiniz. Yazıyı belgenizden kopyalayıp aşağıdaki Yorumunuz Kutucuğu'na yapıştırmanız yeterli...  Adınız:  Yorumunuz : Yorumunuzda Silmek istediğiniz kelime veya cümle varsa kelimeyi fare ile seçin delete tuşuna basın....   Eklediğiniz yorumlar/yazılar onaylandıktan sonra siteye eklenecektir.  E Mail (Zorunlu Değil):

Bilgiyelpazesi.Net Ana Sayfası Bu Yazıyı İndir Sık Kullanılanlara Ekle

<<<TELİF HAKKI KONUSU (ALTTAKİ KAYAN YAZI) LÜTFEN OKUYUNUZ !.>>>>

...Değerli Ziyaretçilerimiz... Sitemizde sizler için hazırladığımız binlerce yazı bulunmaktadır... Hassas davranmamıza karşın gözümüzden kaçan bazı yazılar telif hakkıyla korunuyor olabilir... Telif Hakkıyla korunan yazılarla karşılaşırsanız (KAYNAK GÖSTERMENİZ ŞARTIYLA) yazıların altındaki YORUM YAZ kısmına bildirmenizi rica ederiz... Bu tür yazılar derhal siteden kaldırılacaktır... Saygılarımızla ... Bilgiyelpazesi Ekibi...

SİTEDEKİ KİŞİ SAYISI

Toplam:

SİTEMİZE KİM NEREDEN GELMİŞ HANGİ SAYFADA GEZİNİYOR

Bilgiyelpazesi Net

Sayfanızı Da Tanıtın

Eğitim ve Ögretim Ödev

Zirve100 Sayac

V9 Navigasyon

BUGÜN EN ÇOK ZİYARET EDİLEN İLK 10 SAYFA