Geri Dönüş Yolu: eğitim öğretim ile ilgili belgeler > konu anlatımlı dersler > matematik dersi ile ilgili konu anlatımlar

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER, DENKLEM ÇEŞİTLERİ, ÖZELLİKLERİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

 TANIMLAR:

a, b, c Î R  ve  a ¹ 0 olmak üzere ax² + bx +c = 0 denklemine, ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu denklemdeki a, b, c gerçel sayılarına katsayılar, x’e bilinmeyen denir.

Bu denklemi gerçekleyen gerçel sayılara denklemin gerçel kökleri, denklemin köklerini bulma işlemine denklemin çözümü denir.

Denklemin köklerinin kümesine de denklemin çözüm kümesi denir.

UYARI

Ayrıca belirtilmedikçe, denklemin çözüm kümesi denildiğinde, denklemin R deki çözüm kümesi anlaşılacaktır.

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ

İlk olarak ax² + bx + c = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözebiliriz.

ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.

1.   3x² – 5x = 0                   2.   x² – x – 6 = 0                   3.   2x² + x – 1 = 0

ÇÖZÜMLER :

3x² – 5x = 0                           2.   x² - x - 6 = 0                         3.   2x² + x - 1 = 0

x . (3x – 5) = 0                            (x - 3) . ( x + 2) = 0                    (x + 1) . (2x - 1) = 0

x = 0   V   3x – 5 = 0                   x - 3 = 0   V   x + 2 = 0               x + 1 = 0   V   2x - 1 = 0

ax² + bx + c = 0 DENKLEMİNİN GENEL ÇÖZÜMÜ (FORMÜLLE ÇÖZÜM)

ax² + bx + c = 0 ikinci dereceden denklemi düzenlenirse;

(x’in katsayısının yarısının karesi eklenip çıkarıldı).

Bu kökler gerçel sayı ise b² - 4ac ³ 0 olması gerekir.

TANIM :

ax² + bx + c = 0 denkleminde b² - 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve D ile gösterilir.

Denklemin kökleri ise

formülleri ile bulunur.

Bu kökler kısaca,

biçiminde yazılır.

İrdeleme: ax² + bx + c = 0 denkleminde  D = b² - 4ac iken

1.   D > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçel kökü vardır.

Bunlar

dır.

UYARI

a ile c gerçel sayıları ters işaretli ise D > 0 dır.

2.   D = 0 ise denklemin birbirine eşit iki gerçel kökü vardır. Bu durumda denklemin çakışık iki kökü vardır ya da iki kat kökü vardır da denir.

D = 0 olduğundan (ax² + bx + c) ifadesi tamkare olur.

3.   D < 0 ise denklemin gerçel kökü yoktur. Denklemin R deki çözüm kümesi Æ dir.

İNDİRGENMİŞ DİSKRİMİNANT (YARIM FORMÜL)

ax² + bx + c = 0 denkleminde b çift iken kullanılabilir.

Bu durumda, D^’ = (b^’)² - ac

ÖRNEKLER :

Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümlerini bulunuz.

1.   x² + 3x - 1 = 0               2.   2x² - 3x + 10 = 0               3.   x² - 2

ÇÖZÜMLER :

1. x² + 3x - 1 = 0                                              2.   2x² - 3x + 10 = 0

a = 1,   b = 3,   c = -1                                         a = 2, b = - 3, c= 10

D = (3)² - 4(1) (-1) = 9 + 4 = 13                       D = (-3)² - 4.2.10 = 9 - 80 = -71

D < 0 olduğundan Ç = Æ dir.

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:

ÇARPANLARINA AYRILABİLEN DENKLEMLER

P(x).Q(x) = 0  Û  P(x) = 0   V   Q(x)   = 0

ÖRNEKLER:

1.   2x³ + 3x² - 18x - 27 = 0                                           2.   3(x - 4)² - 48 = 0

x² (2x + 3) - 9(2x + 3) = 0                                               3[(x - 4)² - 16] = 0 Þ (x - 4)² - 4² = 0

(2x + 3) (x² - 9) = 0                                                          (x - 4) - 4 = 0   V   (x - 4) + 4 = 0

(2x + 3) . (x - 3) (x + 3) = 0                                                      x - 8 = 0                         x = 0

2x + 3 = 0   V   x - 3 = 0   V   x + 3 = 0                                           x = 8

RASYONEL DENKLEMLER

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

YARDIMCI BİLİNMEYEN KULLANILARAK ÇÖZÜLEN DENKLEMLER (DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME)

ÖRNEK:   x⁶ + 26x³ - 27 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

x³ = t olsun x⁶ = (x³)² = t² olur.

Buradan denklem

t² + 26t - 27 = 0  biçimine dönüşür.

Þ (t + 27) . (t - 1) = 0

t + 27 = 0   V   t - 1 = 0

t = -27      t = 1

x³ = -27     x³ = 1

x = -3           x = 1

Ç = {-3,1}

KÖKLÜ DENKLEMLER

n Î N⁺ ve P(x)  Π R_[x]  olmak üzere

Köklü denklemler çözülürken genelde şu yol izlenir:

1.          Köklü ifade ( ya da köklü ifadelerden birisi) eşitliğin bir yanında yalnız bırakılır.

2.          Her iki taraf uygun kuvveti alınarak, denklem kökten kurtarılır.

3.          Kökten kurtulmuş denklem çözülerek bulunan çözümlerin yukarıda belirtilen koşullara uygun olup olmadığına ya da denklemi sağlayıp sağlamadığına bakılarak denklemin çözüm kümesi bulunur.

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

 eşitliğinin sağlanması için,

x + 6 ³ 0 ve x + 4 ³ 0  Þ x ³ -4 olmalıdır.

x + 6 = x² + 8x + 16 Þ x² + 7x + 10 = 0

(x + 5) (x + 2) = 0 Þ x = -5   V   x = -2

Þ Ç = {-2}

ÜSLÜ DENKLEMLER

ÖRNEK:

 denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

 dır.

(x+3) (x-2) = 0 Þ x + 3 = 0   V   x - 2 = 0

Þ x = -3              x = 2

Ç = {-2, 3}

MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

Mutlak değerli ifade içeren bir denklemi çözmek için yapılacak ilk işlem, gerçel sayılarda mutlak değer tanımını kullanarak mutlak değeri kaldırmaktır. Bunu şöyle açıklayabiliriz.

n Î N⁺

ÖRNEK:

x² - |x|- 2 = 0  denkleminin çözüm kümesi nedir?

ÇÖZÜM:

x² - |x| - 2 = 0

Þ         x² - (-x) - 2 = 0

Þ         x² + x - 2 = 0

Þ         (x + 2) . (x - 1) = 0

x = -2        x = 1

Ç₁ = {-2}

x ³ 0 Þ |x| = x dir.

Þ         x² - x - 2 = 0

(x - 2)  (x + 1) = 0

x = 2   V   x = -1

Ç₂ = {2}

Denklemin çözüm kümesi ise Ç = Ç₁ È Ç₂ dir. Buradan Ç = {-2, 2} bulunur.

DENKLEM SİSTEMLERİ

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

x + y = 20   Þ   y = 20 - x,   x .y = 64   Þ   x . (20 - x) = 64

20x - x² = 64   Þ   x² - 20x + 64 = 0

Þ   (x - 16) (x - 4) = 0,            x₁ = 16   V   x₂ = 4

Þ   y₁ = 20 - 16       Þ y₂ = 20 - 4

y₁ = 4                      y₂ = 16

Ç = {(16, 4) , (4, 16)}

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

PAREMETRELİ DENKLEMLER

İçinde x değişkeninden başka sabit ya da sabitler bulunan denklemlere parametreli denklemler denir. bilgi yelpazesi.net

Örneğin; mx² - (m - 1)x - 2m + 3 = 0 denklemindeki parametre m ; 2x² - (a - b)x + a . b = 0 denklemindeki parametreler a ve b dir.

ÖRNEK:

(m - 3)x² - 2mx + 3(m - 1) = 0 denkleminin köklerinden birisi (-1) ise m kaçtır?

ÇÖZÜM:

(m - 3)x² - 2mx + 3(m - 1) = 0

x = -1 için (m - 3) (-1)² - 2m(-1) + 3(m - 1) = 0

m - 3 + 2m + 3m - 3 = 0

6m = 6   Þ   m = 1

ÖRNEK:

mx² - 2(m - 1)x + m - 5 = 0  denkleminin birbirine eşit iki kökünün olabilmesi için (m) kaç olmalıdır?

ÇÖZÜM:

x₁ = x₂ ise D = 0 olmalıdır.

Þ   (b^’)² - ac = 0   D   [ - (m - 1)]² - m(m - 5) = 0

UYARI

İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir iki denklemin birer kökleri aynı (ortak) ise, bu iki denklemdeki x² li terimler yok edilir. Bulunan x değeri, denklemlerin ortak kökü olur.

ÖRNEK:

ÇÖZÜM:

Çözüm kümeleri eşit ise denklemlerde birbirine eşit olmalıdır.

3 / 2x² - (n - 1)x - m + 6 = 0

2 / 3x² - 2x + 2m - 1 = 0

İKİNCİ DERECEDEN BİR DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR

ax² + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı   D = b² - 4ac ve kökleri

idi.

UYARI

Köklerle katsayılar arasında verilen bağıntılardan ilk üçünün esas alınarak, diğerlerinin bunlardan ve özdeşliklerden yararlanılarak elde edildiğine dikkat ediniz.

ÖRNEK:

2x² - 4x + m - 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ dir.

x₁² + x₂² = 4 ise m kaçtır?

ÇÖZÜM:

Denklemde a = 2,   b = -4,   c = m - 3 dür.

16 - 4m + 12 = 16

m = 3

ÖRNEK:

2x² + 7x –1 = 0 denkleminin köklerinin 3 er eksiğinin çarpımı kaçtır? bilgi yelpazesi.net

ÇÖZÜM:

Denklemin kökleri x₁, x₂ olsun.

İstenen bağıntı (x₁ - 3) . (x₂ - 3) dür.

Buna göre;

(x₁ - 3) . (x₂ - 3) = x₁x₂ - 3x₁ - 3x₂ + 9

KÖKLERİ VERİLEN DENKLEMİ BULMAK

Kökleri x₁, x₂ olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, (x - x₁) . (x - x₂) = 0 biçimindedir. Bu denklem düzenlenirse, x² - (x₁ + x₂) . x + (x₁ . x₂) = 0 denklemi elde edilir.

ÖRNEK:

Kökleri -3 ile 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?

ÇÖZÜM:

x² - (x₁ + x₂) . x + (x₁ . x₂) = 0 Þ x² - (-1) . x + (-6) = 0

Þ x² + x - 6 = 0 dır.

ÖRNEK:

Katsayıları rasyonel sayı olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir denklemin köklerinden birisi  dir. Bu denklem nedir?

ÇÖZÜM:

UYARI

a, b, c, p, q Î Q olmak üzere ax² + bx + c = 0 denkleminin bir kökü

 dur.

 

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR” SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN

>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI, SORU BANKASI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ

>>>TIKLAYIN<<<

EKLEMEK İSTEDİKLERİNİZ VARSA AŞAĞIDAKİ "Yorum Yaz" kısmına ekleyebilirsiniz.

Yorumlar (10) . ->Yazan : tülay ->Yorumu: çok thanks ;) sayenizde dönm ödevimi tammlayarak 95 aldim.... ->Yazan : Sefa ->Yorumu: gerçekten çok mükemmel bir site, yillik ödevim sayenizde çok iyi oldu tesekkürler .... ->Yazan : abdullah y. ->Yorumu: çok saolun emeginize saglik son 2 gün ve burdan yapiyorum tsk. ->Yazan : özge ->Yorumu: çok saolun dönem ödevimi hazirladim bu bilgiler sayesinde :)). ->Yazan : TUGÇE ->Yorumu: YILLIK ÖDEVIM ÇIKTI ÇOK SÜPER ANLATILMIS TENKS:). ->Yazan : Adem ->Yorumu: Tesekur Ederim Sayenizde Donem Odevin Hzirlicam Emeginize Saglik. >Yazan: burak >Yorum: mükemmel . dönem ödevimi nerden bulucam derken bu sayfa harika oldu. çok saolun. >Yazan: melike >Yorum: tskkürler sayenizde dönm ödewimi hazirladim çok saolunn. >Yazan: sabri dogan >Yorum: çok güzel anlatmissiniz tesekkür ederim. >Yazan: TUGÇE >Yorum: ÇOK TEŞEKKÜR EDERİM BU KONUYU BURAYA KOYDUĞUNUZ İÇİN,,,,. >>>YORUM YAZ<<< Not: Yorum Yaz Bölümünden Yazılar Da Gönderebilirsiniz. Yazıyı belgenizden kopyalayıp aşağıdaki Yorumunuz Kutucuğu'na yapıştırmanız yeterli...  Adınız:  Yorumunuz : Yorumunuzda Silmek istediğiniz kelime veya cümle varsa kelimeyi fare ile seçin ve delete tuşuna basın...   Eklediğiniz yorumlar/yazılar onaylandıktan sonra siteye eklenecektir.  E Mail (Zorunlu Değil):

Bilgiyelpazesi.Net Ana Sayfası Bu Yazıyı İndir Sık Kullanılanlara Ekle

<<<TELİF HAKKI KONUSU (ALTTAKİ KAYAN YAZI) LÜTFEN OKUYUNUZ !.>>>>

...Değerli Ziyaretçilerimiz... Sitemizde sizler için hazırladığımız binlerce yazı bulunmaktadır... Hassas davranmamıza karşın gözümüzden kaçan bazı yazılar telif hakkıyla korunuyor olabilir... Telif Hakkıyla korunan yazılarla karşılaşırsanız (KAYNAK GÖSTERMENİZ ŞARTIYLA) yazıların altındaki YORUM YAZ kısmına bildirmenizi rica ederiz... Bu tür yazılar derhal siteden kaldırılacaktır... Saygılarımızla ... Bilgiyelpazesi Ekibi...

SİTEDEKİ KİŞİ SAYISI

Toplam:

SİTEMİZE KİM NEREDEN GELMİŞ HANGİ SAYFADA GEZİNİYOR

Bilgiyelpazesi Net

Sayfanızı Da Tanıtın

Eğitim ve Ögretim Ödev

Zirve100 Sayac

V9 Navigasyon

BUGÜN EN ÇOK ZİYARET EDİLEN İLK 10 SAYFA