Geri Dönüş Yolu: Eğitim Öğretim İle İlgili Belgeler > Konu Anlatımlı Dersler > Matematik Dersi İle İlgili Konu Anlatımlar

DÖRTGENLER, DÖRTGENLERİN ÇEŞİTLERİ (PARALEL, EŞKENAR DÖRTGENLER), ÖZELLİKLERİ (MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR)

Tanım: Herhangi üçü doğrusal olmayan dört noktanın dört doğru parçasıyla birleştirilmesinden elde dilen çokgene DÖRTGEN denir.

A,B,C,D noktalarına dörtgenin köşeleri [AB],[BC],[CD],[DA] doğru parçalarına ise kenarları denir.

ABCD dörtgenin kenar uzunluklarını [AB]=a , [BC]=b , [CD]=c , [DA]=d [AC] köşegen uzunluğunu e , [BD] köşegen uzunluğunu ise f ile göstereceğiz.(Şek.1)

*Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

m(A)+m(B)+m(C)+m(D)=3600

*Dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360⁰’dir.

m(A’)+m(B’)+m(C’)+m(D’)=360⁰

*Bir dörtgenin aynı kenara bitişik iki açının açıortayları arasındaki açının ölçüsü diğer iki açının ölçüleri toplamının yarısıdır.

*Bir dörtgenin karşılıklı iki açısının açıortayları arasındaki açılardan küçüğün ölçüsü, diğer iki açının ölçüleri farkının yarısıdır.

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde [AC] [DB]= {P} , [AC]=e [BD]=f ise

*Herhangi bir ABCD dörtgeninde S1.S3 = S2.S4 tür. (Şek.5)

*Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir ın köşeleridir. (Şek.6)

*Bir dörtgende karşılıklı iki açı dik ise, bu açıların bitişik kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir. (Şek.7)

İspat: ADC üçgeninde  [AC]2 =[DA]2 + [DC]2

ABC üçgeninde   [AC]2 =[AB]2 + [BC]2

Buradan;

[AB]2 + [BC]2 = [DC]2 + [DA]2 elde edilir.

*Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgende karşılıklı kenar uzunluklarının kareleri toplamı birbirine eşittir. (Şek.8)

İspat: AOB üçgeninde [AB]2 = [AO]2 + [BO]2   DOC üçgeninde [DC]2 = [DO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplanırsa

[AB]2 + [DC]2 = [AO]2 + [DO]2 +[BO]2 +[OC]2 (1)

AOD üçgeninde [AD]2 = [AO]2 + [DO]2   BOC üçgeninde [BC]2 = [BO]2 + [OC]2 taraf tarafa toplarsak

[AD]2 + [BC]2 = [AO]2 +[DO]2 + [BO]2 + [OC]2 (2)

(1)   ve  (2) eşitliklerinin sağ taraflarının eşit olduğunu görüyoruz. Öyleyse;

[AB]2 + [CD]2 = [BC]2 + [DA]2

*Bir dörtgende karşılıklı iki kenar ile köşegenlerin orta noktaları bir paralel kenarın köşeleridir. Bu paralel kenarın çevresi, dörtgenin diğer iki kenar uzunluğunun toplamı kadardır. (Şek.9)

İspat: E,F,G,H sırasıyla [AB],[BD], [CD] ve [AC]’nin orta noktalarıdır.

CAB üçgeninde EH // BC        CDB üçgeninde GF // BC  ise EF // GF (1)

DAC üçgeninde GH // DA       DAB üçgeninde EF // DA ise GH // EF (2)

(1) ve (2)’den EFGH paralel kenar olur. Bu paralel kenarın çevresi de [AD] + [BC] ‘dir.

*ABCD dışbükey dörtgeninin iç bölgesindeki herhangi bir nokta P ise (Köşegenlerin kesim noktası dışında);

[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] ‘dir. (Şek.10)

İspat: PAC üçgeninde [PA] + [PC] > [AC] ve PBD üçgeninde [PB] + [PD] > [BD] dir. Taraf tarafa toplarsak

[PA] + [PB] + [PC] + [PD] > [AC] + [BD] bulunur.

Not: P noktası (bilgi yelpazesi.net) köşegenlerin kesim noktası ise bu durumda  [PA] + [PB] + [PC] + [PD] = [AC] + [BD] olur.

*ABCD dörtgeninin [AC] ve [BD] köşegenlerinin orta noktaları E ve F, [EF]= x ,[BD]= f, [AC]= e ise

İspat: A ile F’ yi; F ile de C’ yi birleştirelim.[AF]= m,[FC]= n olsun.

(1) ve (2)’den

2 (m2+n2)=a2+b2+c2+d2-f2   (3)

FAC üçgeninde kenarortay teoremine göre

Buradan  4x2 = 2(m2+n2) -e2 yazılabilir.

2(m2+n2)   yerine (3)’de bulduğumuz eşitlikle yazarsak 4x2 = a2+b2+c2+d2-f2-e2 olur.

PARALEL KENAR

Karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgene paralel kenar denir. (Şek.12)

[AB] // [DC] ve [BC] // [AD]

Özellikleri:

1- Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. [AB]=[DC], [AD]=[BC]

2-Karşılıklı açıların ölçüleri eşittir. m(A)=m(C), m(B)=m(D)

3-Aynı kenara ait bitişik açılar birbirlerinin bütünleridir.

m(A)+m(B)=180,   m(B)+m(C)=180,    m(C)+m(D)=180,        m(D)+m(A)=180

4-Köşegenler birbirlerini ortalar.(Şek.13) [AO]=[OC],   [BO]=[OD]’dir.

5-Köşegenler paralel kenarı 4 eş alana ayırırlar.

*[DC] üzerinde alınan bir P noktasını A ve B ile birleştirdiğimizde elde edilen, PAB’nin alanı ABCD alanının yarısıdır. (Şek.14)

İspat: P den BC ye bir paralel çizelim. PE // AD // BC , PEBC bir paralel kenar olur.

A(PEB)=A(PBC) (1) ,

DAEP paralel kenarında A(PAE)=A(DAP)  (2).

(1) ve (2)’yi taraf tarafa toplayalım. A(PEB)+A(PAE)=A(PBC)+A(DAP)    A(PAB)=A(PBC)+A(DAP)

Buradan da

bulunur.

*Herhangi bir ABCD paralel kenarında [AF]=[DF], [BE]=[EC] ise [AK[=[KL]=[LC]’dir. (Şek.15)

İspat:   AKF ile CKB üçgenleri benzerdir.

Aynı şekilde CLE ile ALD üçgenleri de benzerdir.

[AF]=[CE] idi . Buradan AKF ile CLE üçgenleri de benzer olur. [AK]=[CL] bulunur. Böylece (1) ve (2)’den [AL]=[KC] [AL]=2[AK]=2[CL] den [AK]=[KL]=[LC] elde edilir.

*ABCD paralel kenarında köşegen uzunlukları e ve f, kenar uzunlukları a ve b ise

e2+f2 = 2(a2+b2) ‘dir. (Şek.16)

İspat: CAB üçgeninde kenarortay teoremini yazalım.

Buradan da e2+f2 = 2(a2+b2) bulunur.

*Bir paralel kenarın kenarlarını aynı yönde hareketle aynı miktarda uzattığımızda elde ettiğimiz dörtgen yine bir paralel kenardır.(Şek.17)

ABCD bir paralel kenar, [AA’]=[BB’]=[CC’]=[DD’] ise A’B’C’D’ bir paralel kenardır.

İspat: AA’B’ üçgeniyle CC’D’ üçgenleri benzerdir.(A.K.A) dan [A’B’]=[C’D’] olur. CBB’ ile de A’DD’ benzerdir. Buradan da [A’D’]=[C’B’] karşılıklı kenar uzunlukları eşit olan bir dörtgen elde edilir. Bu da paralel kenardır.

*ABCD paralel kenarında [EB]=[FC]=[GD]=[HA] ise EFGH dörtgeni bir paralel kenardır.(Şek.18)

İspat: AEH ile CGF ve EBF ile GDH üçgenleri benzerdir.(K.A.K)

Buradan da [HE]=[FG] ve (bilgi yelpazesi.net) de [EF]=[GH] elde edilir. Bu durum da EFGH bir paralel kenardır.

*(Şek.19)’da ABCD bir paralel kenar ise [DE]2=[EF].[EG]’dir.

İspat: DAE ile FCE üçgenleri benzerdir.

Buradan da [DE]2=[FE].[EG] elde edilir.

*Herhangi bir ABCD paralel kenarında

İspat:

*Şekil 21 deki gibi bir ABCD paralel kenarında [AE]=[EB] ve [DF]=[AF] ise

İspat:

EŞKENAR DÖRTGEN

Kenar uzunlukları birbirine eş olan dörtgene eşkenar dörtgen denir. (Şek.22)

*Paralel kenarın tüm özelliklerini taşır.

*Köşegenler birbirinin dik olarak ortalar. [AC] ^ [BD] [AO]=[OC] ve  [BO]=[OD]’dir.

*Köşegen (bilgi yelpazesi.net) uzunlukları

*Köşegenler açıortaydır.

*e2+f2 = 4a2 dir.

*Eşkenar dörtgenin alanı yükseklikle bir kenarın çarpımıdır. (Şek.23)

*Çevresi 4a’dır.

*Eşkenar dörtgenin iç bölgesinde alınan bir noktanın tüm kenarlar olan uzaklıkları toplamı 2h kadardır. (Şek.24)

[KE]+[KG]+[KF]+[KH]= 2h   ([HF]=[GE]=h )

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ KONU ANLATIMLAR " SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN
>>>TIKLAYIN<<<

“KONU ANLATIMLI DERSLER " SAYFASINA GERİ DÖNMEK İÇİN
>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ TEST SORULARI SORU BANKASI "
SAYFASINA GEÇMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

“MATEMATİK DERSİ İLE İLGİLİ YAZILI SORULARI "
SAYFASINA GEÇMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

"EĞİTİM ÖĞRETİM İLE İLGİLİ BELGELER ” SAYFASINI GÖRMEK İSTERSENİZ
>>>TIKLAYIN<<<

EKLEMEK İSTEDİKLERİNİZ VARSA AŞAĞIDAKİ "Yorum Yaz" kısmına ekleyebilirsiniz.

Yorumlar (32) . ->Yazan : firdes ->Yorumu: geometri ödevim için çok yararli oldu. ->Yazan : mervenur kaya ->Yorumu: iyiiiiiiiiii performans ödevime yardimci oldu okdyyyyyyyyyyy. ->Yazan : emre sahin ->Yorumu: tüm ödevlerimi bu sitede tessekürler. ->Yazan : ramazan ->Yorumu: yorumlar çok iyi anlatimli herkese tavsiye ederim. ->Yazan : egn-gndg ->Yorumu: Çok süper ama çok uzun oLmuss yhaa :). ->Yazan : ada ->Yorumu: mükemmel herkeze tavsiye ederim çok isime yaradi harbiden yha .d. ->Yazan : ... ->Yorumu: hehehehe bende projemi burdanyaptim. ->Yazan : ahu ->Yorumu: çok güzel bilgili bir çok dörtgen var. ->Yazan : sibel ->Yorumu: ben 3 cocuk annesiyim kizimin pers. odevlerini yapiyorum sagolun cok yardimci oldu :). ->Yazan : mine ->Yorumu: çok güzel bir site buradan ders çalisip ödev yapabiliyorum. ->Yazan : tuanna ->Yorumu: çok tesekürler bende performans ve solari burdan buldum.... ->Yazan : aysegül ->Yorumu: çok yardimci oldu ama daha fazla olsaydi daha güzel olurdu yinde tesekkür edrim. >Yazan: halil >Yorum: tesekkür ederim performans ödevimi burdan yaptim . >Yazan: büsra >Yorum: tesekkür ederim performans ödevimi burdan yaptim . >Yazan: EsRaNuR >Yorum: BeNcE dE ÇoK GüZeL Bi sItE OlMuS pRoJe öDeViMi bUrDaN YaPtIm VaLLa.... :):):):):):) . >Yazan: serife >Yorum: kesinlikle çok güzel herkese tavsiye ederim . >Yazan: berke >Yorum: çok tesekkürler performans ödevimi buradan yaptim . >Yazan: esra >Yorum: ben performansimi burdan yaptim çok güzel burasi herkese tavsiye ederim :) . >Yazan: büsra >Yorum: bence güzel olmus performans ödevimi buradan yaptim . >Yazan: seda >Yorum: çok güzel olmus ellerinize saglik valla proje ödevimi burdan yapacagim . >Yazan: nilüfer >Yorum: güzel olmus ama isime yarayan bir sey yok :D gene de sagolun . >Yazan: gaye >Yorum: çok tesekkür ederim bu steyi kuranlara çok tesekkürler ödevime çok yardimci oldu . >Yazan: büsra >Yorum: tesekkürler ama daha fazla açiklama olsa daha iyi olur . >Yazan: onur >Yorum: çok gzel olmus dönem ödevime çok yardimci oldu hazirlayan arkadasa tesekkür ederim . >Yazan: aleyna >Yorum: bence bu site çok güzel bi site her seyi faydalaniyoruz tek kelimeyle güzel bi site. >Yazan: beyza nur ates >Yorum: fena degil ama biraz daha açiklamali olsa daha iyi olurdu . >Yazan: emel >Yorum: en güzel bilgiler buradaydi çok güzel bir ödevdi. >Yazan: tolga giray kavzoglu >Yorum: yaaaaaaaa güzel site de biraz daha açiklamali olsa daha iyi olur ibisler. >Yazan: oflu >Yorum: çözülmüs örnek sorularda olsa imis keske.ama çok güseL tesekkürler hazirlayanlara.. >Yazan: merve >Yorum: ya aradigimiz seye ulasamiyacakmiyiz?:q ama gene de sag olun..BBY. >Yazan: Burak KARAMAN >Yorum: Proje ödevimi burdan yaptim :D. >Yazan: buse >Yorum: çok güzel ben buna bayildim herkese tavsiye ederim. >Yazan: GIZEM >Yorum: GÜZEL OLMUS AMA SEKILLER YAN YANA DEGILDE SEKIL ARKASINA KONU DIREK ANLATILSAYMIS DAHA IYI OLURMUS BENCE AMA YINEDE ÇOK TESEKKÜRELER.. >>>YORUM YAZ<<< Not: Yorum Yaz Bölümünden Yazılar Da Gönderebilirsiniz. Yazıyı belgenizden kopyalayıp aşağıdaki Yorumunuz Kutucuğu'na yapıştırmanız yeterli...  Adınız:  Yorumunuz : Yorumunuzda Silmek istediğiniz kelime veya cümle varsa kelimeyi fare ile seçin ve delete tuşuna basın...   Eklediğiniz yorumlar/yazılar onaylandıktan sonra siteye eklenecektir.  E Mail (Zorunlu Değil):

Bilgiyelpazesi.Net Ana Sayfası Bu Yazıyı İndir Sık Kullanılanlara Ekle

<<<TELİF HAKKI KONUSU (ALTTAKİ KAYAN YAZI) LÜTFEN OKUYUNUZ !.>>>>

...Değerli Ziyaretçilerimiz... Sitemizde sizler için hazırladığımız binlerce yazı bulunmaktadır... Hassas davranmamıza karşın gözümüzden kaçan bazı yazılar telif hakkıyla korunuyor olabilir... Telif Hakkıyla korunan yazılarla karşılaşırsanız (KAYNAK GÖSTERMENİZ ŞARTIYLA) yazıların altındaki YORUM YAZ kısmına bildirmenizi rica ederiz... Bu tür yazılar derhal siteden kaldırılacaktır... Saygılarımızla ... Bilgiyelpazesi Ekibi...

SİTEDEKİ KİŞİ SAYISI

Toplam:

SİTEMİZE KİM NEREDEN GELMİŞ HANGİ SAYFADA GEZİNİYOR

Bilgiyelpazesi Net

Sayfanızı Da Tanıtın

Eğitim ve Ögretim Ödev

Zirve100 Sayac

V9 Navigasyon

BUGÜN EN ÇOK ZİYARET EDİLEN İLK 10 SAYFA